ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TOÁN CAO CẤP, BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

Bạn đang xem câu chữ tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Tích phân, để sở hữu tài liệu về máy bạn click vào nút download ở trên

Bạn đang xem: Tích phân toán cao cấp

Tính hóa học 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k   ¡ 2) ( ) ( )f x dx f x C   3) ( ) ( )d f x dx f xdx 4) < ( ) ( )> ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C   ¡ 2) 1, 11xx dx C      3) lndx x Cx  ; 4) 2dxx Cx  5) x xe pháo dx e C  ; 6) lnxx aa dx Ca  7) cos sinxdx x C  ; 8) sin cosxdx x C  9) 2tancosdxx Cx  ; 10) 2 cotsindxx Cx   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến chuyển số11) 2 21arctandx x
Ca ax a  12) 2 2arcsin , 0dx x
C aaa x   13) 2 21ln2dx x a
Ca x ax a  14) ln tansin 2dx x
Cx  15) ln tancos 2 4dx x
Cx       16) 22lndxx x a Cx a    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một phát triển thành số
VD 1. Tính 24dx
Ix . A. 1 2ln4 2x
I Cx ; B. 1 2ln4 2x
I Cx ; C. 1 2ln2 2x
I Cx ; D. 1 2ln2 2x
I Cx . Giải. 2 21 2ln .4 22dx x
I C Axx      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số
Giải. Biến chuyển đổi: 21 1 1 1 1( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x           . Vậy 1 1 15 3 2I dxx x         1 1 3ln 3 ln 2 ln5 5 2xx x C Cx      .VD 2. Tính 2 6dx
Ix x . Giải. Đặt ln 12 ln 1dxt x dtx x   . Vậy 2 2 2 ln 1I dt t C x C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một phát triển thành số
VD 4. Tính 23 lndx
Ix x . Giải. Đặt ln dxt x dtx   2lnarcsin arcsin3 33dt t x
I C Ct      . VD 5. Tính 3( 3)dx
Ix x . Giải. đổi khác 23 3( 3)x dx
Ix x . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến hóa số
Đặt 3 23t x dt x dx   1 1 1 13 ( 3) 9 3dt
I dtt t t t           331 1ln ln9 3 9 3t x
C Ct x    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số 1.3. Cách thức từng phần a) công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx    hay .udv uv vdu   VD 6. Tính ln
I x xdx  . Giải. Đặt 2ln,2u x dx xdu vdv xdx x     21 1ln2 2I x x xdx    2 21 1ln .2 4x x x C  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số
VD 7. Tính 2xx
I dx  . Giải. Thay đổi .2 x
I x dx  . Đặt 2,2 ln 2xxu xdu dx vdv dx      .2 12ln 2 ln 2xxx
I dx    2.2 2ln 2 ln 2x xx
C    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số
VD 8. Tính 3 sincos x
I xe cộ dx  . Giải. Biến hóa 2 sin(1 sin ) cosx
I e t te dt     2(1 ) 2 ( )t te t t de    2(1 ) 2 2t t te t te e dt     2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến chuyển số b) những dạng tích phân từng phần thường chạm mặt • Đối cùng với dạng tích phân ( ) x
P x e dx , ta đặt: ( ), .xu p. X dv e dx  • Đối cùng với dạng tích phân ( )ln
P x x dx , ta đặt: ln , ( ) .u x dv p x dx  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số0 1 1... N nx a x x x b      . đem điểm 1< ; >k k kx x  tùy ý ( 1,k n ). Lập tổng tích phân: 11( )( )nk k kkf x x     . §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. đến hàm số ( )f x xác định trên < ; >a b . Ta phân chia đoạn < ; >a b thành n đoạn nhỏ bởi những điểm chia ký hiệu là ( ) .ba
I f x dx  số lượng giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0limk kkx x
Ix x  . Giải. Chuyển đổi 321 4 ( 1)dx
Ix  . Đặt 1t x dt dx    222001arctan2 2 84dt t
It    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số
VD 2. Tính 0cos
I x x dx  . Giải. Đặt , sincosu xdu dx v xdv x dx     0 00sin sin cos 2I x x x dx x      . VD 3. Tính 12 311.sin
I x x dx  . Giải. Bởi hàm số 2 3( ) 1.sinf x x x  liên tục và lẻ trên đoạn < 1; 1> buộc phải 0I  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( )ba
S f x f x dx     2 1( ) ( )dc
S g y g y dy     a) Biên hình phẳng cho vì chưng phương trình bao quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng S SØ Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số
Cách không giống Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x     1 12 4 2 41 02S x x dx x x dx      12 4042 ( ) .15x x dx C    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một đổi thay số
VD 2. Tính diện tích s hình phẳng S số lượng giới hạn bởi các đường 2x y với 2y x  . Giải. Biến hóa đổi: 2 22 2x y x yy x x y           . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y     222 2 3111 1 27( 2) 2 .2 3 6S y y dy y y y                Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một phát triển thành số
VD 3. Tính diện tích s hình phẳng S số lượng giới hạn bởi các đường 1xy e  , 2 3xy e  cùng 0x  . A. 1ln 42 ; B. Ln 4 12 ; C. 1 ln 22 ; D. 1ln 22 Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e   2 2 0 2 ln 2x x xe cộ e e x        . Ln 2ln 22 2001( 2) 22x x x x
S e e dx e e x           1 1ln 4 ln 42 2A     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến hóa số
VD 4. Tính diện tích hình elip 2 22 2: 1x y
Sa b  . Giải. Phương trình thông số của elip là: cos, <0; 2 >sinx a tty b t    . B) Biên hình phẳng cho vì chưng phương trình tham số Hình phẳng giới hạn bởi con đường cong bao gồm phương trình ( ), ( )x x t y y t  cùng với < ; >t    thì: ( ). ( ) .S y t x t dt  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến hóa số2 220 0sin .( sin ) sin
S b t a t dt ab t dt     201 cos22tab dt ab   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một phát triển thành số 3.2. Tính độ lâu năm l của con đường cong a) Đường cong bao gồm phương trình bao quát Cho cung »AB tất cả phương trình ( ), < ; >y f x x a b  thì: »21 < ( )> .b
VD 7. Tính thể tích V bởi vì hình phẳng S số lượng giới hạn bởi ln , 0y x y  , 1,x x e  quay bao quanh Ox. 3.3. Tính thể tích trang bị thể tròn xoay a) thứ thể quay quanh Ox Thể tích V của vật dụng thể do miền phẳng S số lượng giới hạn bởi ( ), 0y f x y  , x a , x b xoay quanh Ox là: 2< ( )> .ba
V f x dx  Giải. 11ln ( ln )ee
V x dx x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một đổi mới số
VD 8. Tính V bởi 2 22 2( ) : 1x y
Ea b  xoay quanh Ox. Giải. Ta có:  2 2 22 2 22 2 21x y by a xa b a     . Vậy  22 2 2243aab
V a x dx aba      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số b) đồ vật thể xoay quanh Oy Thể tích V của đồ gia dụng thể vì miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x  , y c và y d xoay quanh Oy là: 2< ( )> .dc
Giải. Parabol 22y x x  được viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y      1 1 , 11 1 , 1x y xx y x        . Vậy    1 2 201 1 1 1V y y dy           1 13008 84 1 (1 )3 3y dy y       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số
VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Chăm chú Thể tích V của đồ thể vị miền phẳng S số lượng giới hạn bởi ( )y f x , 0y  , x a và x b quay bao phủ Oy còn được tính theo công thức: 2 ( ) (*).ba
V xf x dx  Giải. 22 3 420 02 82 (2 ) 2 .3 4 3x x
V x x x dx            Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khái niệm mở đầu Cho hàm số ( ) 0, < ; >f x x a b   . Lúc đó, diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị ( )y f x với trục hoành là: ( )ba
S f x dx  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG mang lại hàm số ( ) 0, < ; )f x x a    (b ). Khi đó, diện tích s S hoàn toàn có thể tính được cũng có thể không tính được. Vào trường đúng theo tính được hữu hạn thì: ( ) lim ( )bba a

Xem thêm: Top 21 Khi Con Trai Chặn Facebook Người Yêu ? Bạn Trai Chặn Liên Lạc

Ix  . Giải • Trường hòa hợp α = 1: 11lim lim lnbbb bdx
I xx        (phân kỳ). • Trường hòa hợp α không giống 1: 1111lim lim1b bb bdx
I xx          11, 11lim 1 11 , 1.bb           Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến hóa số
Vậy § cùng với 1  : 11I   (hội tụ). § cùng với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở nên số
VD 2. Tính tích phân 02(1 )dx
Ix . VD 3. Tính tích phân 21dx
Ix . Giải. 0021lim lim 11(1 )a a aadx
Ixx         . Giải. 2lim lim arctan1bbab baa adx
I xx         lim arctan lim arctan2 2b ab a            . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số để ý • giả dụ tồn tại lim ( ) ( )x
F x F  , ta cần sử dụng công thức: ( ) ( ) .aaf x dx F x • nếu như tồn tại lim ( ) ( )x
F x F  , ta dùng công thức: ( ) ( ) .bbf x dx F x • Tương tự: ( ) ( ) .f x dx F x Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở nên số 4.1.2. Những tiêu chuẩn chỉnh hội tụ a) Tiêu chuẩn 1 • giả dụ 0 ( ) ( ), < ; )f x g x x a     cùng ( )ag x dx hội tụ thì ( )af x dx hội tụ. • những trường hòa hợp khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số
VD 4. Xét sự quy tụ của tích phân 101x
VD 5. Xét sự quy tụ của tích phân 1cos 3x
I e x dx  . Giải. 1 1cos 3x xe x dx e dx    (hội tụ) I hội tụ. B) Tiêu chuẩn 2 • ví như ( )af x dx quy tụ thì ( )af x dx quy tụ (ngược lại không đúng). • các trường vừa lòng khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành sốc) Tiêu chuẩn 3 • cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn luôn dương trên < ; )a  với ( )lim( )xf xkg x . Lúc đó: Ø nếu 0 k  thì: ( )af x dx cùng ( )ag x dx cùng quy tụ hoặc phân kỳ. Ø giả dụ 0k  cùng ( )ag x dx hội tụ thì ( )af x dx hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến chuyển sốØ nếu ( )akg x dx   phaân kyø thì ( )af x dx phân kỳ. • những trường thích hợp khác tương tự. VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 31 1 2dx
Ix x  . Giải. Đặt 2 31( )1 2f xx x , 31( )g xx ta có: 32 3( ) 1( ) 21 2f x xg x x x   cùng 31dxx quy tụ I hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân 11 sindx
Ix x  . Giải. Ta có: 1 1( )1 sinxx x x : và 1dxx phân kỳ. Vậy I phân kỳ. Chăm chú Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x : thì ( )af x dx với ( )ag x dx bao gồm cùng tính chất. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở thành số
VD 8. Điều kiện của  để 31 . Ln 1dx
Ix x hội tụ là: A. 3  ; B. 32  ; C. 2  ; D. 12  . Giải. Đặt lnt x 13 3 30 0 11 1 1dt dt dt
VD 9. Điều kiện của  để 241( 1)2 3x dx
Ix x  hội tụ? Giải • với 4  : 24 21 1( 1)2 3x dx dx
Ix x x   : hội tụ. • cùng với 4  : 21 2dx
Ix: quy tụ I quy tụ   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một thay đổi số 4.2. Tích phân suy rộng các loại 2 4.2.1. Định nghĩa • mang đến hàm số ( )f x xác minh trên < ; )a b cùng không khẳng định tại b , khả tích trên số đông đoạn < ; > ( 0)a b     . Số lượng giới hạn (nếu có) của ( )baf x dx lúc 0  được điện thoại tư vấn là tích phân suy rộng nhiều loại 2 của ( )f x bên trên < ; )a b . Ký kết hiệu: 0( ) lim ( ) .b ba af x dx f x dx  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến đổi số• Định nghĩa tương tự: 0( ) lim ( )ab baf x dx f x dx  (suy rộng lớn tại a ); 0( ) lim ( )b bố af x dx f x dx  (suy rộng lớn tại a , b ). • Nếu các giới hạn trên sống thọ hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số
VD 10. Khảo sát sự quy tụ của 0, 0bdx
I bx  . Giải • Trường hợp α = 1: 0 0 0lim lim ln ln lim lnbbdx
I x bx              . • Trường vừa lòng α không giống 1: 10 0 01lim lim lim1b b bdx
I x dx xx               Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một trở nên số  11 101 , 1lim 11 , 1.bb            Vậy § cùng với 1  : 11b
I (hội tụ). § cùng với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến đổi số
VD 11. Tính tích phân 1321631 9dx
Ix . A. 3I  ; B. 3I ; C. 6I ; D. I  . Giải. 1133121 66(3 )arcsin 331 (3 )d x
VD 12. Tính tích phân 3 21 . Lnedx
Ix x  . Giải. Đặt lnt x 21 1 1333 2 00 03 3dt
I t dt tt      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến chuyển số
VD 13. Tính tích phân 221dx
Ix x . Giải. Ta có: 2 21 11 1( 1) 1dx
I dxx x x x          2011 1lim1dxx x       2011lim lnxx       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số
VD 14. Tích phân suy rộng 10 ( 1)(2 )x dx
Ix x x  quy tụ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 12  ; C. 12  ; D.   ¡ . 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ những tiêu chuẩn chỉnh hội tụ như tích phân suy rộng các loại 1. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b: thì ( )baf x dx và ( )bag x dx tất cả cùng đặc điểm (với b là cận suy rộng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số
Giải. Khi 0x  thì 121 1.( 1)(2 ) 2 2x xx x x xx  : I quy tụ 110 212dxx  quy tụ 1 112 2C       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một đổi mới số
Giải. 1 12 trăng tròn 0( 1)sin ( 1)sinx dx dx
Ix x x x    . VD 15. Tích phân suy rộng 1201( 1)sinx
Chú ý • cho 1 2I I I  với một 2, ,I I I là các tích phân suy rộngta có: 1) 1I và 2I quy tụ I hội tụ. 2) 12( )0II  phaân kyø hoặc 12( )0II   phaân kyø thì I phân kỳ. 3) 12( )0II  phaân kyø hoặc 12( )0II   phaân kyø thì không thể kết luận I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một đổi thay số VD 16. 1201sinx
I dxx x   phân kỳ khi và chỉ còn khi: A. 14  ; B. 14  ; C. 12  ; D.   ¡ . Giải. Ta có: 1 11 22 đôi mươi 0sin sinx dx dx
I I Ix x x x     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một vươn lên là số khía cạnh khác: 1) 1 1 12 32 30 0 0 2sindx dx dx
Ix x xx     : . 2) 11 200sinx dx
Ix x  . Vậy 1 2I I I  phân kỳ với tất cả D  ¡ .
Bài tập Toán cao cấp - Nguyễn Thủy Thanh - Tập 3: Phép tính tích phân. Lý thuyết chuỗi. Phương trình vi phân
Bài tập Toán thời thượng - Nguyễn Thủy Thanh - Tập 3: Phép tính tích phân. Kim chỉ nan chuỗi. Phương trình vi phân
Bài tập Toán cao cấp - Nguyễn Thủy Thanh - Tập 3: Phép tính tích phân. Kim chỉ nan chuỗi. Phương trình vi phân

10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . 410.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh . . . . . . . 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 1210.1.3 Phu
.cˆa´p . . . . 3010.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n . . . . . 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o..ng gi´ac . . . . . . . . . . 48
11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . 5811.1.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.1.2 D- iˆe`u kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch . . . . . . . . . . . . 5911.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co
.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . . . . . 6111.3 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh . . . . . . . . 7811.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ . . . . 7811.3.2 T´ınh dˆo. d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on chuyển phiên . . 8911.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n . . . . . . . . . 9811.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi. ch˘a.n . . 107




12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.1.1 Tru.`o.ng ho..p miˆe`n ch˜u.nhˆa.t . . . . . . . . . . . 11812.1.2 Tru.`o
.ng ho..p miˆe`n cong . . . . . . . . . . . . . . 11812.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng vào h`ınh ho.c . . . . . . . . 12112.2 T´ıch phˆan 3-l´o
.ng ho..p miˆe`n cong . . . . . . . . . . . . . . 13412.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.2.4 Nhˆa.n x´et phổ biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.3 T´ıch phˆan du
.ba’n . . . . . . . . . . . . . . 14412.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . 14612.4 T´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co.ba’n . . . . . . . . . . . . . . 15812.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t . . . . . . . . 16012.4.3 Cˆong th´u
.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 16212.4.4 Cˆong th´u.c Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 162