Mua Giáo Trình Xác Suất Thống Kê Tống Đình Quỳ ) (Z, Xác Suất Thống Kê

Giáo trình được chia làm 6 chương trong đó 3 chương dành cho phần xác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Những khái niệm và công thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và được minh họa bằng nhiều thí dụ áp dụng. TỐNG ĐÌNH QUỲ GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Tái bán lần thử năm) NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI LỜI NÚIĐẨU Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng râi và phong phú của đời sống c

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 242

Loại tệp PDF

Kích thước 7.49 M

Tên tệp

Bạn đang xem: Giáo trình xác suất thống kê tống đình quỳ

Giáo trình được chia làm 6 chương trong đó 3 chương dành cho phần xác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Những khái niệm và công thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và được minh họa bằng nhiều thí dụ áp dụng.

TỐNG ĐÌNH QUỲ GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Tái bán lần thử năm)NHÀ XUẤT BẢ N BÁCH KHOA - HÀ NỘI LỜI NÚI ĐẨU Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa họcđang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng râi vàphong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển mạnh mẽcủa khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các côngcụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nênđặc biệt cần thiết. Các kiến thức và phương pháp của xác suất vàthống kê đă hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vựckhoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinhtế học, xã hội học, ngôn ngữ học... Trong một chục năm gần đây, giáo trình xác suất thông kê đã trởthành cơ sở của nhiều ngành học trong các trường đại học và cao đẳng,từ đó xuất hiện nhu cầu học tập và nghiên cứu ứng dụng rất lớn, nhất làđôi với sinh viên các ngành khoa học không chuyên về toán. Để thoảmãn yêu cầu đó, giáo trình này cố gắng đáp ứng đòi hỏi của đông đảosinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc hơn các khái niệm và phương pháptính xác suất và thông kê để học tập đạt hiệu quả cao hơn cũng nhưứng dụng môn học vào ngành học và môn học khác. Giáo trình xác suất thống kê được viết cho thời gian giảng dạylà 60 tiết học. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ toán cơbản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơngiản và hợp lý, và như vậy đã buộc phải bớt đi phần nào sự chặt chẽhình thức (vốn rất đặc trưng cho toán học) để giúp bạn đọc tiếp cậndễ dàng hơn bản chất xác suất của các vấn đề đặt ra và tăng cườngkỹ năng phân tích, xử lý các tình huống, từ đó dần dần hình thànhmột hệ thống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toánngày càng phức tạp hơn. Giáo trình được chia thành 6 chương gồm 3 chương dành cho phầnxác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Nhũmg khái niệm vàcông thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và đượcminh hoạ bằng nhiều thí dụ áp dụng. Các chứng minh khó được lượt bớtcó chọn lọc để giáo trình không quá cổng kềnh, mặc dù vậy các côngthức và vấn đề liên quan đều được nhắc đến đầy đủ để tiện không chỉcho học tập sâu hơn, mà còn có ích cho những bạn đọc muốn tra cứu,tìm tòi phục vụ cho ứng dụng và tính toán thống kê. Cuối mỗi chương cómột loạt bài tập dành để bạn đọc tự giải nhằm hiểu biết sâu sắc hơn lýthuyết và rèn luyện kỹ năng thực hành. Hy vọng rằng giáo trình có ích cho bạn đọc xa gần, các sinh viên,cán bộ giảng dạy ở các trường đại học và cao đẳng, các cán bộ khoahọc và kinh tế muốn tự học và tự nghiên cứu xác suất thống kê - mônhọc thường được coi là khó tiếp thu. Tác giả cũng cám ơn mọi ý kiếngóp ý để quyển sách sẽ ngày càng được hoàn thiện hơn để góp phầnnâng cao chất lượng dạy và học môn học này. Trong lần tái bản này tại Nhà xuất bản Bách Khoa - Hà Nội, một sốlỗi chế bản đã được sửa chữa. Tác giả một lần nữa tỏ lời cảm ơn đẽnnhững ý kiến góp ý của đông đảo bạn đọc để cải tiến giáo trình tronglần tái bản tiếp theo. TÁC GIẨ Chương I sự KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT ■ m §1.KHÁI NIỆM Mỏ ĐẦU 1.1. Sự kiện ngẫu nhiên Khái niệm thường gặp trong lý thuyết xác suất là sự kiện(mà không thể định nghĩa chặt chẽ). Sự kiện đưỢc hiểu như làmột sự \âệc. một hiện tượng nào đó của cuộc sông tự nhiên vàxã hội. Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộđiều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kễt cục khác nhau. Thí dụ 1.1. Gieo một con xúc sắc đồng chât trên một mặtphẳng (phép thử). Phép thử này có 6 kết cục là: xuất hiện mặt1 , mặt 2,..., mặt 6 chấm. Mỗi kết cục này cùng với các kết quảphức tạp hơn như: xuất hiện mặt có sô" chấm chẵn, mặt có sô"chấm bội 3, đều có thể coi là các sự kiện. Như vậy kết cục của một phép thử là một trưòng hỢp riêngcủa sự kiện. Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu sự kiện bằngcác chữ cái in hoa A, c , ... Sự kiện được gọi là tất yếu, nếunó chắc chắn xảy ra, và đưỢc gọi là bất khả. nếu nó không thểxảy ra khi thực hiện phép thử. Còn nếu sự kiện có thể xảy rahoặc không sẽ đưỢc gọi là sự kiện ngẫu nhiên. Từ đó, theo mộtnghĩa nào đó, có thể coi các sự kiện tâ"t yếu, ký hiệu là ư, vàbât khả, ký hiệu là V, như các trường hỢp riêng của sự kiệnngẫu nhiên. Thí dụ, dưói những điều kiện xác định, nưốc đóngbáng ở 0"^C là sự kiện tất yếu; khi gieo một con xúc xắc, việcxuât hiện mật bảv chà"m là sự kiện bất khả... 5 Để mô tả một phép thử người ta xác định tập hỢp các kếtcục có thể có. Tập hỢp tất cả các kết cục của một phép thử(đưỢc gọi là các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là coỊ) tạo thành khônggian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là Q = {cúịj i e /}, I là tập chỉsô", có thể vô hạn (đếm đưỢc hoặc không đếm đưỢc). Dễ thấytrong thí dụ 1 . 1 , nếu ký hiệu Aị — sự kiện xuất hiện mặt ichấm (i = 1 , 6) thì Q = A 2, A 3, A 4, A 5, Ag} = {A„ i = 1 , 6}. Trong nhiều hiện tưỢng hàng loạt khi thực hiện nhiều lầncùng một phép thử, ta thây tần suất xuất hiện một sự kiện Anào đó chênh lệch không nhiều so vói một sô" đặc trưng chokhả năng xuất hiện A. Số đó đưỢc gọi là xác suất xuất hiện Avà được ký hiệu là P(A). Như vậy nếu viết P(A) - p c6 nghĩa làxác suâ^t xảy ra sự kiện
A là bằngp. Một câu hỏi tự nhiên là. Do đâu có sự kiện ngẫu nhiên? Vàchúng ta có thể nhận biêt đưỢc chúng không? Thực ra mỗi sựkiện đều xảy ra theo quv luật nào đó; song do điều kiện Lhiêutri thức, thông tin và phương tiện cần thiết (cả về kinh phí,thiết bị lẫn thòi gian) nên ta không có khả năng nhận thức dầydủ về sự kiện đó. Vấn đề càng trỏ nên khó khàn hơn khi chỉcần có một sự thay dổi bâ"t ngò dù rất nhỏ của bộ điều kiện dãlàm thay đổi kết cục của phép thử. Cho nên bài toán xác địnhbản chất xác suâ^t của một sự kiện bất kỳ trong một phép thửtùy ý là không thể giải đưỢc. 1.2. Phép toán và quan hệ của các sự kiện Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ và phép toántrên tập các sự kiện cho phép ta xác định chúng thực chất hơn. (i) Tổng của A và B, ký hiệu là A + 5 , chỉ sự kiện khi cóxuất hiện ít nhất một trong hai sự kiện trên. (ii) Tích của A và B, ký hiệu là AB, chỉ sự kiện khi có xuâ"thiện đồng thồi cả hai sự kiện trên.6 (iii) Đối lập của A, ký hiệu là A, chỉ sự kiện không xuấthiện A. Rõ ràng đối lập có tính tương hỗ A = A và A + A = u,A Ã = V, ữ = y . (iv) Xung khắc: hai sự kiện A vầ B được gọi là xung khắcnếu chúng không thể đồng thời xảy ra, tức là AB = V. (v) Kéo theo, ký hiệu A => B, chỉ nếu xuất hiện A thì xuấthiện B. (vi) Tương đương, ký hiệu A = B, chỉ việc nếu xuất hiện A thìxuất hiện B và ngưỢc lại. (vii) Hiệu của A và B, ký hiệu A - B (hoặc A\B), chỉ sự kiệnxuất hiện A nhưng không xuất hiện B, tức là A - j
B = AB. Các khái niệm cho thấy tính đối lập, tổng, tích và hiệu củahai kiện tương ứng vối bù, hợp, giao và hiệu của hai tập hỢp.Như vậy có thể sử dụng các tính chất của các phép toán trên tậphỢp cho các phép toán trên sự kiện, chẳng hạn dùng sơ đồ Ventrong thí dụ sau đây. Thí dụ 1.2. Ký hiệu u là tập vũ trụ, V là tập 0 (rỗng). Khiđó A và sẽ là các tập con của u và các phép toán trên A v à Bcó thể minh họa bằng sơ đồ Ven (xem hình 1 . 1 ). Tập vũ trụ Đối lập A khắc (ẬB = 0 ) Kéo theo A => B Tống A + B Tích AB Hình 1.1 Từ đó, dễ dàng chỉ ra các công thức sau; A + B = B + A, AB = BA (giao hoán); A + (B + Q = {A + B) + C, A(BC) = (AB)C (kết hỢp); A(B + o = AB + AC (phân phối); A + Ư =U ,A + V = A ,A + A = A ; AU = A ,A V = V ,A A = A . Thí dụ 1.3. Chọn từ một lô hàng ra 5 sản phẩm và ta quantâm đến sô"phế phẩm trong 5 sản phẩm đó (phép thử). a) Xác định các sự kiện sơ cấp. b) Biểu diễn các sự kiện sau theo các sự kiện sơ cấp: cónhiều nhất 1 phế phẩm; có không quá 4 phế phẩm, có ítnhất 1 phế phẩm. Giải, a) Ký hiệu Aị - trong 5 sản phẩm có ỉ phế phẩm. Rõràn g i = 0,5 và Q = {Ao, A „ A 2, A 3, A ị, A 5I. b) Gọi A, B và c là các sự kiện tương ứng. Dễ dàng biểudiễn A = Aq + Aị, B —Aq + A| + A 2 + Ag + Aị = A -, c = Aj + Av +A 3 + A 4 + A 5 - Aq. Thí dụ 1.4. Cho sơ đồ mạng điện trên hình 1.2 gồm 3 bóngđèn. Việc mạng mất điện (sự kiện A) chỉ có thể xảy ra do cháycác bóng đèn Ọíý hiệu là Aj, A 2, A 3). Hãy biểu diễn A theo các ỉ = 1, 2, 3). Giải. A xuất hiện khi xảyra một trong 3 trường hỢp: ___^ (i) cả ba bóng cháy, (ii) cháy hai bóng 1 và 2 , (iii) cháy hai bóng 1 và 3. Hình 1.2 Từ đó ta có A = A 1A 2A 3 + Aị
A^A.j + A, A,Ạ,.8Có thể dùng tính chất của mạng song song và nốì tiếp để cómột biểu diễn khác gọn hơn: A =A ,(A 2 + A 3). Trong nhiều bài tập, việc xác định sô" lượng các sự kiện sơcấp đưa đến sử dụng các kết quả của lý thuyết tổ hỢp. 1.3. Giải tích kết hợp Việc đếm sô" các kết cục của một phép thử dựa vào môhinh: chọn hú họa ra k phần tử từ n phần tử cho trưốc. Nếuphân biệt thứ tự các phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnhhỢp; nếu thứ tự không phân biệt, ta có tổ hợp. (i) Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ n ỉ à một nhóm có thứ tựgồm k phần tử lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồm kphần tử khác nhau được xếp theo thứ tự nhất định. Sô" cácchỉnh hỢp như vậy, ký hiệu là (k = ^ (1.4) " k\ k\{n-k)\ Thí dụ 1.5. Cho một tập hỢp gồm 3 phần tử {a, 6 , c}. Có thếtạo ra bao nhiêu nhóm gồm 2 phần tử chọn từ tập trên? Giải: (i) Nếu ta để ý đến thứ tự các phần tử và mỗi phần tử chỉđưỢc chọn một lần, sô" nhóm thu được sẽ là = 3.2 = 6; đó là{a, 6}; {6, a}; {a, c}; {c, a}; {b, c}, {c, b}. (ii) Nếu vẫn để ý đến thứ tự, nhưng mỗi phần tử được chọnnhiều lần, số nhóm thu được trở thành Ag = 3^ = 9; đó là: {a, 6}; ịb, a}; {a, c}; {c, a}; {ồ, c), {c, 6}; {a, a)\ {b, 6}; ịc, e}. (iii) Nếu không để ý đến thứ tự các phần tử và chúng chỉđược chọn một lần, sô" nhóm thu đưỢc trở thành c | = 3; đó là {a, 6}; {a, c}; {ồ, c}. Thí dụ 1.6. Một lổp phải học 6 môn trong học kỳ, mỗi ngàyhọc 3 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thòi khóa biểu trong1 ngày? Giải. Sô" cách xếp cần tìm chính là sô" cách ghép 3 môn từ 6món, trong đó các cách ghép sẽ khác nhau nếu có ít nhất mộtmôn khác nhau hoặc thứ tự môn khác nhau. Từ đó theo ( 1 . 1 )ta có số cách cần tìm là Aị = 6.5.4 = 120. Thí dụ 1.7. Có thể đánh số được bao nhiêu xe nếu chỉ dùng 3con sô"từ 1 đến 5? Giải. Mỗi sô"thứ tự của một xe dễ thấy là chỉnh hỢp lặp chập3 từ 5. Từ đó theo (1.2) ta có sốlượng xe được đánh số sẽ là Ă \ = 5^ = 125. Thí dụ 1.8. Có bao nhiêu cách lập một hội đồng gồm 3 ngườichọn trong số 8 ngưòi?10 Giải. Hội đồng là một nhóm 3 người lấy từ 8 người, do đótheo (1.4) sẽ có Cg = 8!/(3!5!) = 56 cách lập. Cuối cùng, để ý là ta đã rất quen thuộc với khái niệm tổ hỢpđược dùng trong công thức nhị thức Niu-tơn (x ^ + aỴ " = c°x’" n + C>"^"a n +... + n +... + C"a\ n Từ đó có thể dễ dàng chứng minh (để ý c° = = 1) c "n n ^ c*n =C n.-l, ^í +c*n -1 §2. CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT 2.1. Định nghĩa cổ điển Trong mục này ta làm việc với các phép thử có kết cụcđồng khả năng. Khái niệm đồng khả năng đóng vai trò chủđạo và khó có thể định nghĩa một cách hình thức. Xét thí dụđơn giản sau đây: Thí dụ 2.1. Trong một hộp có n viên bi giông nhau về kíchcỡ và chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có m bi trắng vầ n -m bi đỏ. Rút hú họa ra một viên bi (phép thử). Do sô" viên bi làn nên tổng số các kết cục khác nhau sẽ là n, và vì tính giôngnhau của chúng nên mỗi viên bi có cùng khả năng đưỢc rút.Bây giò nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng thì trong sô" nkết cục đồng khả năng có m kết cục thuận lợi cho A. Vì vậytrực giác cho thấy nên chọn tỷ sô" mln làm xác suất của việcxuâ"t hiện A. Đ inh n ghĩa. Cho một phép thử với n kết cục đồng khảnăng, trong đó có m kết cục thuận lợi cho A, khi đó , X m số kết cuc thuân lơi cho A /o 1 \ P{A) = — = ....- , ■,— —. (2.1) n tống sô kết cục có thê 11 Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xácsuất. Cách tính xác suất theo (2 . 1 ) có ưu điểm là tương đối đơngiản và trực quan, tuy nhiên phạm vi áp dụng rất hạn chê chỉcho các loại phép thử gồm hữu hạn kết cục đồng khả năng.Trong tính toán thường sử dụng các kết quả (1.1) - (1.4). Thí dụ 2.2. Gieo đồng thòi 2 con xúc sắc giống nhau. Tínhxác suất để tổng sô" chấm thu được bằng 6. Giải. Phép thử có 6.6 = 36 kết cục (sự kiện sơ cấp) khácnhau đồng khả năng. Gọi A là sự kiện “tổng sô" chấm bằng 6”,thì có tất cả 5 kết cục thuận lợi cho A là {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2}và {5,1} (số thứ nhất chỉ sô" chấm của con xúc sắc 1 , sô" thứ 2 -số chấm của con xúc sắc 2). Vậy P(A) = 5/36. Thí dụ 2.3. Trong hộp có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ cùngkích cõ. Rút hú họa ra 2 bi, tính các xác suất để trong đó có: a) hai viên trắng; b) ít nhất 1 viên đỏ; c) viên thứ hai đỏ. Giải. Ta dùng định nghĩa cổ điển ở trên. a) Tổng số cách để rút ra 2 bi có quan tâm đến thứ tự là
Afo = 10.9 = 90, trong đó số cách thuận lợi cho A - rút được 2bi trắng - là Al = 4.3 = 12; vậy xác suất cần tìm P(A) = 12/90= 2/15. Có thể sử dụng khái niệm tổ hỢp để tính xác suất: tổngsô" cách lấy ra 2 bi từ 10 viên bi là cf(j (không quan tâm đếnthứ tự), trong đó để rút ra 2 bi trắng có C4 cách. Từ đó ta cócùng kết quả như trên. b) Có thể tính trực tiếp xác suất của B - sự kiện rútđược ít nhất 1 bi đỏ (tức là hoặc được 1 hoặc cả 2 bi đỏ). Dễthấy sự kiện đối lập B - cả 2 bi đều trắng - đã có xác suấthiện bằng 2/15. Từ đó P(B) = 1 - P(B) = 13/15 (xem tínhchất của xác suất ngay dưới đây).12 c) Gọi c là sự kiện viên bi thứ hai màu dỏ. số cáchthuận lợi cho c bao gồm (có quan tâm đến thứ tự): 6.5 = 30cách đối với trường hỢp viên bi đầu màu đỏ và 4.6 = 24 cáchđòì với trưòng hỢp bi đầu màu trắng. Từ đó P(C) = (30 +24)/90 = 3/5. Có thể lý luận đơn giản hơn như sau: do viên biđầu không biết màu sắc nên thông tin về tỷ lệ màu khôngthay đổi vói viên bi thứ hai. Vậy sự kiện c sẽ có cùng xácsuất với việc rút hú họa ra 1 bi đỏ từ hộp 10 viên ban đầu vàxác suất của sự kiện đó rất dễ tính là 6/10 = 3/5. Dùng công thức (2.1) dễ dàng chứng minh các tính chấtsau đây của xác suất (đúng cho cả các trường hỢp địnhnghĩa khác): (i) 1 > P(A) > 0; (li) P (ơ ) = 1 ; P(V) = 0; (iii) Nếu A, B xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P{B)-, (iv) P(Ã) = 1 -P (A ); (v) Nếu A B thì P{A) Khái niệm “rơi đồng khả năng vào G” có nghía là điểm gieo cóthể rơi vào bất kỳ điểm nào của G và xác suất để nó rơi vàomột miền con nào đó của G tỷ lệ vói độ đo của miền ấy, màkhông phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của miền. Thí dụ 2.4. Đưòng dây điện thoại ngầm nôl một tổng đàivới một trạm dài Ikm. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cáchtổng đài không quá l

Xem thêm: Uống nước lá đu đủ có tác dụng của lá đu đủ có tác dụng gì? nước lá đu đủ có công dụng gì

OOm. Giải. Rõ ràng nếu dây điện thoại đồng chất, khả năng nóbị đứt tại một điểm bất kỳ là như nhau, nên tập hỢp các kếtcục đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổngđài với trạm. Các kết cục thuận lợi cho A - sự kiện chỗ đứtcách tổng đài không quá l
OOm - được biểu thị bằng đoạnthẳng có độ dài l
OOm. Từ đó theo (2.2) P(A) = 100/1000 = 0,1. Một số bài toán thực tế khác có thể đưa về mô hình dạngtrên. Chú ý rằng theo cách định nghĩa này thì sự kiện có xácsuất bằng 0 vẫn có thể xảy ra (chảng hạn mũi tên bắn trúngmột điểm cho trưóc...)- Tính chất này rất đặc trưng cho cácbiến ngẫu nhiên liên tục sẽ nghiên cứu ở chương II. 2.2. Định nghĩa thống kê Điều kiện đồng khả năng của các kết cục một phép thửkhông phải lúc nào cũng được bảo đảm. Có nhiều hiện tượngxảy ra không theo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẩnghạn khi tính xác suất một đứa trẻ sắp sinh là con trai, ngàymai tròi mưa vào lúc chính ngọ, v.v... Có một cách khác để xác định xác suất của một sự kiện. Giảsử tiến hành một loạt «1 phép thử cùng loại, nếu sự kiện A nàođó xuất hiện trong mj phép thử thì ta gọi mj/rỉ, là tần suất xuấthiện A trong loạt phép thử đã cho. Tương tự với loại phép thửthứ hai, thứ ba... ta có các tần suất tương ứng m j n 2, rn
Kôn-mô-gô-rôp phát biểu. Các tiên đề đó (giông như các tiên đềtoán học khác) đưỢc thừa nhận là đúng đắn, tất nhiên căn cứvào kinh nghiệm cuộc sô
Vig và hoạt động thực tiễn. Cách tiếpcận này liên hệ chặt chẽ lý thuyết xác suất với lý thuyết hàrnsô’ và tập hỢp. Cách xác định xác suất theo tiên đề sẽ chứa16trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất nhưlà các trường hỢp riêng. Ta quay trở lại không gian các sự kiện sđ cấp Q (xem § 1 ),còn bản thân các phần tử là gì không quan trọng. Tiếp theoxác định hệ thống (Ả các tập hỢp con của Q, các phần tử của dlđược gọi là các sự kiện ngẫu nhiên. Ta đặt cho c
A các yêu cầuhợp lý sau: (i) chứa (ii) Nếu A v ài
B & CẢ thì A , B , A + B, AB e C Á . Hệ thống cị thỏa măn các điều kiện trên được gọi là đại s ố
Bun. Nếu ta yêu cầu thêm (iii) Nếu A 2: A„. ... là các phần tử của c
A, thì tổng vàtích vô hạn Aj + A 2 + ... + + .... Ai
A, ... A„... cũng.thuộc CÃ.Nếu thỏa mãn thêm điều kiện (iii) ta có một trường Bô-ren,hay ơ - đại sô". Bây giò ta đã có thể định nghĩa xác suất: Đ ịnh n gh ĩa. Ta gọi xác suất trên (Q, c//) là một hàm sốxác định trên í
A có giá trị trong <0; 1> và thỏa mãn 3 tiên đề (T,)P(fi) = l; (T2) P(A + B) = P{A) + P{B) (A, B xung khắc); (T;j) Nếu dãy {A,,} có tính chất Aj => Aị, V ỉ 0.Xuất phát từ hệ tiên để trên có thể chứng minh đưỢc các tínhchất của xác suất đã trình bày ở § 1 , hoặc chính chúng đã là cáctính chất đó (tiên đề 1 và 2). Chú ý rằng hệ tiên đề này chưađầy đủ: ứng vối một tập Q có thể chọn xác suất theo nhiềucách khác nhau. Người ta có thể thay tiên đề 2 và 3 bằng mộttiên đề có tên là tiên đề cộng mở rộng: 17 (TJ Nếu dãy {AJ có tính chất xung khắc từng đôi và
A =^ G thì rt=i P(A) = P(A,) + P(A,) + ... P(A„) + ... = ỵ P ( A J . n=ì Để kết luận, có thể nói rằng cách định nghĩa xác suất ởđây nhìn từ quan điểm của lý thuyết tập hỢp chính là sự đưavào cùng với Q một độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính, xácđịnh cho mọi phần tử của tập k= P{B) Đ ịn h n gh ĩa 1. Giả sử trong một phép thử ta có P(B) > 0.Khi đó xác suất có điều kiện của sự kiện A nào đó, biết rằng đãcó B, sẽ là một số không âm, ký hiệu là: P{AB) P{A B) = (3.1) P(B) Để ý rằng nói chung P(A) ^ P(A B). Ngoài ra xác suất cóđiều kiện có mọi tính chất của một xác suất bình thường. Thí dụ 3.1. Gieo 2 con xúc sắc giống nhau. Tính xác suấtđể ta có tống số chấm thu đưỢc bằng 6, biết rằng tổng đó làmột sô"chẵn. Giải. Ta đã biết P(A) - 5/36 (xem thí dụ 2.2, A là sự kiệnxuất hiện tông chấm bằng 6). Nếu ký hiệu B là sự kiện xuấthiện tổng chấm chẵn, thì điều kiện để tính P{A Is) đã thay đổi,tổng sô chẵn chỉ tương ứng với 18 kết cục của phép thử gieo 2con xúc sác. Từ đó P(A IB) = 5/18. Thí dụ 3.2. Rút từ bộ bài tú lơ khơ 52 con lần lượt ra 2 conbài. Tìm xác suất để con thứ hai là át, biết rằng con thứ nhấtđã là át. Giải. Dễ thấy nếu ký hiệu Ai là sự kiện con thứ i là át 1(i = 1,2), thì P(A, A,) = , tương đương với việc do đã có 51 17A|, việc tính xác suất sự kiện đưa về tính trong trường hỢpchỉ còn 51 con bài với 3 con át trong đó. Đ ịn h n g h ĩa 2. Ta nói rằng A và B độc lập (thống kê), nếu P(A 1B) = P(A) hoặc P(B \A) = P(B). (3.2)Như vậy nếu A, B độc lập việc xuất hiện sự kiện này khônglàm thay đổi xác suấ"! của sự kiện kia. Tuy nhiên việc kiểm tratính chất (3.2) trong thực tiễn râ"t khó khăn và trong nhiều 19trường hỢp là không thể. Vì vậy dựa vào thực tê và trực giácmà ta thừa nhận các sự kiện độc lập trong các bài tập sau này.Công thức tương đương của (3.2), có để ý đến (3.1) là: P(AB) = P{A)P{B). (3.3) Đ in h n g h ĩa 3. Ta nói bộ sự kiện Ai, Ag, độc lập (hayđộc lập trong tổng thể) nếu P( a X . . . A,^) = P(A,;)P(A. )... P ( \ ) (3.4)vói mọi dãy (ỉi, ik) gồm các số nguyên khác nhau lấy từ {1 , 2 , n}. Thí dụ 3.3. Gieo hai lần một đồng tiền, và ta có 4 kết cụcđồng khả năng i
S - ký hiệu mặt sấp, N - mặt ngửa) fì = {SS, SN, NS, NN>.Rõ ràng các sự kiện A = SS + S N , B = s s + NS, c = s s + N Nlà độc lập từng đôi do P{A) = P(B) = P ( 0 - —; còn P{AB) 2P(AC) = P{BƠ) ~ — thỏa mãn (3.3). Tuy nhiên chúng không 4độc lập trong tổng thể do P{ABC) = - ^ P{A)P(B)P(C) = 4 8Như vậy không nên nhầm lẫn hai khái niệm độc lập trong cácđịnh nghĩa 2 và 3. Khái niệm độc lập trong tổng thể kéo theođộc lập từng đôi (do (3.3) là trường hỢp riêng của (3.4) khik - 2), nhưng ngưỢc lại nói chung không đúng. 3.2. Công thức cộng và nhân xác suất l. Công thức nhân xác suất P(AB) = P(A)P(B IA) = P(B)P(A IB). {8.5)Đó là hệ quả trực tiếp suy ra từ (3.1). Từ (3.5) có thể dẫn racác kết quả quan trọng:20 (i) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P{A)P{B) (xem 3.3)). (ii) Mở rộng cho tích n sự kiện P{AA,...A„) = = P{A,)P{A, IA,)P(A., IA,A,)..,P(A„ I (3.6) (iii) Nếu A,A;,, ... A„ độc lập trong tổng thể, thì: p A: P(A). \ 1= 1 /^1 2. Cồng thức cộng xác suất P(A ^B) = P(A) -f P{B) - P(AB). (3.7)Việc chứng minh công thức trên không có gì quá phức tạp(nhất là từ các tiên để của mục 2.3). Từ (3.7) có thể dẫĩl ra cáckết quả sau: (i) Nêu A, B xung khác, thì P(A + B) = P(A) + P(B), (ii) Mở rộng cho tổng n sự kiện p + ( - i r " ’P(A,A,...A„). (3.8) (iii) Nếu Aj, A 2, xung khắc từng đôi p Các công thức (3.5) - (3.8) cho ta các công cụ hiệu quả đểtính xác suất các sự kiện phức tạp qua xác suất các sự kiện đơngiản hơn. Thí dụ 3.4, Hai cọc bài được lấy từ một bộ bài tú lơ khơ, cọcthứ nhất gồm 4 con át, cọc thứ hai gồm 4 con ka. Rút ngẫunhiên từ mỗi cọc bài ra một con bài, tính các xác suất đế 21