| Hệ thống thông báo thành viên Bạn đang xem: Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức Gửi do Nesbit |
| Đặt tiêu đề ráng nào để bài không biến thành xóa? Gửi vì E. Galois |
| Trình biên soạn thảo phương pháp Toán Gửi bởi vì Nesbit |
Hiển thị:Chủ đề: tất cả
Chủ đề: Mở
Chủ đề: Nóng
Chủ đề: Bình chọn
Chủ đề: Khóa
Chủ đề: Di chuyểnSắp xếp:Bài viết cuối
Người viết cuối
Tên chủ đề
Người viết công ty đề
Chủ đề bắt đầu
Tập tin giữ hộ kèm
Bài trả lời
Lượt xemPhân loại:Z-AA-ZThời gian:Từ: Hôm nay
Từ: 5 ngày
Từ: 7 ngày
Từ: 10 ngày
Từ: 15 ngày
Từ: đôi mươi ngày
Từ: 25 ngày
Từ: 30 ngày
Từ: 60 ngày
Từ: 90 ngày
Hiển thị tất cả
Hiển thị: trường đoản cú lần truy cập cuối Nhớ
| Chú ýTổng vừa lòng các cách thức chứng minh bất đẳng thức Bắt đầu bởi vì Whjte toanhoc2017 | |
Chú ýInequalities From 2016 Mathematical Olympiads | |
Chú ýPhương pháp EMV - The Last Method | |
Chú ýChứng minh các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên vật dụng tính | |
Chú ýMột lời giải bằng Cauchy-Schwarz | |
| Chú ýBạn đã tìm lời giải ra làm sao ? User Photo ips User Photo_mini" /> | |
Chú ýMột chút về hàm lồi và bất đẳng thức Jensen Photo ips Xem thêm: Mặt nạ trà xanh có tác dụng mặt nạ trà xanh, 5 cách đắp mặt nạ bột trà xanh cho mọi loại da UserPhoto_mini" /> | |
đa thức bất khả quy | |
phương pháp, bài xích tập sắp xếp các biến trong cm bđt    | |
| Tổng đúng theo tài liệu BĐT trong dày hơn 2000 trang khá đầy đủ nhất bên trên k2pi.net toanhoc2017 | |
S.O.C - Kĩ thuật so với bình phương đến bdt hoán vị |
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tư liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức lớp 9", để cài tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên
chuyên đề: Bất đẳng thức
Tác đưa : Nguyễn –Văn –Thủy sưu tập và soạn năm 2000chỉnh sửa năm :2007Bác bộ quà tặng kèm theo cháu - chúc cháu thành công
A- Mở đầu: Bất đẳng thức là giữa những mảng kiến thức và kỹ năng khó nhất của toán học càng nhiều .Nhưng thông qua các bài bác tập về chứng tỏ bất đẳng thức học viên hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá chỉ trị lớn số 1 và nhỏ dại nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải bài bác tập , năng lực để ý đến , sáng chế của học viên được phat triển nhiều dang với phong phúvì các bài tập về bất đẳng thức bao gồm cách giải không tuân theo quy tắc hoặc khuôn mẫu mã nào cả.Nó đòi hỏi người gọi phải gồm cách suy xét lôgic trí tuệ sáng tạo biết phối hợp kiến thức cũ với kỹ năng và kiến thức mới một biện pháp lôgíc bao gồm hệ thống. Cũng bởi toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu mã , không tuân theo một phương pháp nhất định nên học viên rât lo ngại khi giải toán về bất đẳng thức vị vậy học sinh sẽ ko biết bắt đầu từ đâu cùng đi theo mùi hương nào .Do đó đa số học sinh đắn đo làm toán về bất đẳng thứcvà ko biết áp dụng bất đẳng thức để giải quyết và xử lý các loại bài tập khác. Trong thực tế giảng dạy dỗ toán ở trường trung học cơ sở việc làm cho học sinh biết chứng tỏ bất đẳng thức cùng vận dụng các bất đẳng thức vào giải những bài tập có liên quan là quá trình rất quan tiền trọngvà không thể không có được của tín đồ dạy toán ,thông thông qua đó rèn luyện
Tư duy lôgic và khả năng sáng chế tạo ra cho học viên .Để có tác dụng được điều này người giáo viên phải cung ứng cho học viên một số kiến thức và kỹ năng cơ bản và một số cách thức suy nghĩ lúc đầu về bất đẳng thức . Chính vì lí bởi vì trên nên tôi tự tham khảo biên soạn siêng đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn. Hạng mục của chăm đề
S.t.t
Nội dungtrang
Phần bắt đầu 1Nội dung chăm đề2Các kỹ năng và kiến thức cần lưu ý3Các cách thức chứng minh bát đẳng thức4Phương pháp 1:dùng định nghiã4Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương6Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức thân quen thuộc8Phương pháp 4:dùng đặc điểm bắc cầu 10Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12Phương pháp 6: dùng phương thức làm trội14Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16Phương pháp 8: cần sử dụng đổi biến hóa 17Phương pháp 9: sử dụng tam thức bậc nhị 18Phương pháp 10: sử dụng quy nạp toán học 19Phương pháp 11: Dùng chứng tỏ phản bệnh 21Các bài tập nâng cao23ứng dụng của bất dẳng thức 28Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị29Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình 31Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên33Tài liệu tham khảo
B- văn bản Phần 1 : các kiến thức cần để ý 1- Định nghĩa 2- tính chất 3-Một số hằng bất đẳng thức hay sử dụng Phần 2:một số cách thức chứng minh bất đẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- phương thức dùng chuyển đổi tương đương 3- phương thức dùng bất đẳng thức không còn xa lạ 4- phương pháp sử dụng đặc thù bắc mong 5- cách thức dùng đặc thù tỉ số 6- phương thức làm trội 7- phương thức dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- phương pháp đổi thay đổi số 9- phương thức dùng tam thức bậc nhì 10- phương pháp quy hấp thụ 11- phương pháp phản chứng Phần 3 :các bài xích tập nâng cao PHầ
N 4 : vận dụng của bất đẳng thức 1- cần sử dụng bất đẳng thức nhằm tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức nhằm giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên
Phần I : những kiến thức bắt buộc lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính hóa học + A>B + A>B với B >C + A>B A+C >B + C + A>B cùng C > D A+C > B + D + A>B với C > 0 A.C > B.C + A>B cùng C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( vết = xảy ra khi A.B B Ta chứng tỏ A –B > 0 lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M lấy ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z vì (x-y)2 0 với"x ; y dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z vết bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx lốt bằng xẩy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với đa số x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với tất cả x;y;z vệt bằng xẩy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài xích toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = Vậy
Dấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh AB tho định nghĩa bước 1: Ta xét hiệu H = A - B bước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) cách 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) chứng tỏ "m,n,p,q ta đều sở hữu m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi bài bác tập ngã xung cách thức 2 : cần sử dụng phép đổi khác tương đương
Lưu ý: Ta biến hóa bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức vẫn được chứng tỏ là đúng. Chăm chú các hằng đẳng thức sau: ví dụ như 1: mang đến a, b, c, d,e là những số thực chứng tỏ rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn luôn đúng) Vậy (dấu bằng xẩy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy vết bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta gồm điều nên chứng minh
Ví dụ 2: chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta bao gồm điều phải chứng tỏ Ví dụ 3: đến x.y =1 cùng x.y minh chứng Giải: bởi vì :xy cần x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 bởi x.y=1 buộc phải 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta bao gồm điều buộc phải chứng minh
Ví dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: chứng minh rằng :có đúng một trong những ba số x,y,z to hơn 1 (đề thi Lam tô 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 cần phải xẩy ra trường vừa lòng trên có nghĩa là có đúng một trong ba số x ,y ,z là số to hơn 1Phư ơng pháp 3: dùng bất đẳng thức thân quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) những bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: giả dụ Nếu dấu bằng xảy ra khib/ những ví dụ ví dụ 1 cho a, b ,c là những số không âm chứng tỏ rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: biện pháp 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc dấu “=” xẩy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y vừa lòng ;CMR: x+y lấy ví dụ 3: mang đến a>b>c>0 và minh chứng rằng Giải: bởi vì a,b,c đối xứng ,giả sử abc vận dụng BĐT Trê- bư-sép ta có == Vậy vệt bằng xảy ra khi a=b=c= lấy ví dụ 4: đến a,b,c,d>0 cùng abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta bao gồm Do abcd =1 buộc phải cd = (dùng ) Ta gồm (1) mặt khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy lấy ví dụ như 5: cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd nhưng mà ví dụ 6: minh chứng rằng Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c
Ph ương pháp 4: Sử dụng đặc thù bắc cầu
L ưu ý: A>B cùng b>c thì A>c 00 vừa lòng a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều yêu cầu chứng minh)ví dụ 2: đến a,b,c>0 thỏa mãn minh chứng Giải: Ta bao gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân chia hai vế mang đến abc > 0 ta bao gồm ví dụ 3 cho 0 1-a-b-c-d Giải: Ta bao gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vày a>0 , b>0 phải ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) bởi vì c 0 ta gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều đề nghị chứng minh)ví dụ 41- mang lại 0 0 1+ > + b cơ mà 0 , > từ (1) cùng (2) 1+> + Vậy + 0 thì từ ` ví dụ 1 : đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thành phần thức ta tất cả (1) ngoài ra : (2) từ (1) cùng (2) ta bao gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta tất cả với k = 1,2,3,,n-1 do đó: ví dụ 2 : chứng tỏ rằng: cùng với n là số nguyên Giải :Ta gồm Khi cho k chạy từ là 1 đến n ta có 1 > 2 cùng từng vế các bất đẳng thức bên trên ta có Ví dụ 3 : minh chứng rằng Giải: Ta có Cho k chạy tự 2 mang lại n ta gồm Vậy Ph ương pháp 7: sử dụng bất đẳng thức vào tam giác
Lưu ý: nếu như a;b;clà số đo tía cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 với |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác đề nghị ta bao gồm ị cùng từng vế các bất đẳng thức trên ta bao gồm a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế những bất đẳng thức ta được
Ví dụ2: (404 – 1001) 1) cho a,b,c là chiều dài cha cạnh của tam giác chứng minh rằng 2) đến a,b,c là chiều dài bố cạnh của tam giác tất cả chu vi bởi 2 chứng minh rằng Ph ương pháp 8: đổi đổi thay số
Ví dụ1: đến a,b,c > 0 chứng minh rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta bao gồm a= ; b = ; c =ta bao gồm (1) ( Bất đẳng thức ở đầu cuối đúng vị ( ; yêu cầu ta tất cả điều phải chứng minh Ví dụ2: mang đến a,b,c > 0 với a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát lác m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: cần sử dụng tam thức bậc hai
Lưu ý : mang lại tam thức bậc hai nếu như thì giả dụ thì nếu thì với hoặc () cùng với Ví dụ1: chứng minh rằng (1) Giải: Ta có (1) Vậy với đa số x, y
Ví dụ2: chứng tỏ rằng
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương cùng với Ta bao gồm Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: cần sử dụng quy hấp thụ toán học
Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với ta thực hiện công việc sau : 1 – kiểm tra bất đẳng thức đúng cùng với 2 - đưa sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được hotline là đưa thiết quy hấp thụ ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần minh chứng rồi chuyển đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với tất cả Ví dụ1: chứng minh rằng (1) Giải : cùng với n =2 ta tất cả (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 đưa sử BĐT (1) đúng cùng với n =k ta phải chứng tỏ BĐT (1) đúng cùng với n = k+1 thiệt vậy khi n =k+1 thì (1) Theo mang thiết quy nạp k2+2k 0 minh chứng rằng (1)Giải
Ta thấy BĐT (1) đúng cùng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng cùng với n=k ta phải chứng tỏ BĐT đúng cùng với n=k+1Thật vậy với n = k+1 ta có (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta minh chứng (3) (+) giả sử a b với giả thiết mang đến a -b a (+) giả sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : trả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 cho nên vì thế a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 bởi a 0 b + c 0 tương tự như ta gồm b > 0 , c > 0 ví dụ như 2: đến 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong những bất đẳng thức sau là sai: , Giải : giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được (1) Theo giả thiết ta gồm 4(b+d) 2ac (2) tự (1) và (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức cùng có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3: cho x,y,z > 0 cùng xyz = 1. Chứng minh rằng trường hợp x+y+z > thì có 1 trong các ba số này to hơn 1 Giải : Ta tất cả (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vì xyz = 1 theo đưa thiết x+y +z > đề nghị (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thật vậy giả dụ cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái đưa thiết) Còn nếu 2 vào 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+ac
Giải
Ta tất cả hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều đề xuất chứng minh2) chứng minh rằng a) b) với tất cả số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta có điều phải minh chứng b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta bao gồm điều phải chứng minh c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều đề xuất chứng minh
Ii / Dùng biến hóa tương đương 1) đến x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta gồm (vì xy = 1) cho nên BĐT cần chứng minh tương đương cùng với BĐT cuối đúng đề xuất ta bao gồm điều đề xuất chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta tất cả BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta gồm điều yêu cầu chứng minh
Iii / cần sử dụng bất đẳng thức phụ 1) mang lại a , b, c là những số thực và a + b +c =1 minh chứng rằng Giải : áp dụng BĐT Bunhia
Côpski cho 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta bao gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang đến a,b,c là các số dương chứng tỏ rằng (1) Giải : (1) vận dụng BĐT phụ với x,y > 0 Ta tất cả BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng cách thức bắc ước 1) cho 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : vì chưng a ,b ,c ,d > 0 bắt buộc ta gồm (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : (đpcm) 2) mang lại a ,b,c là số đo cha cạnh tam giác chứng minh rằng Giải : vị a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác đề nghị ta tất cả a,b,c > 0 và a 0 cùng x+y+z =1 Giải : bởi x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta tất cả x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có mức giá trị lớn số 1 là lúc x=y=z= ví dụ như 3 : mang đến xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : vận dụng BĐT Bunhiacốpski đến 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta gồm (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại () với (1,1,1) Ta có Từ (1) cùng (2) Vậy có giá trị bé dại nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ như 4 : vào tam giác vuông tất cả cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích s lớn độc nhất vô nhị Giải : gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta bao gồm S = vị a ko đổi mà lại x+y = 2a Vậy S lớn nhất khi x.y lớn số 1 Vậy trong số tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn độc nhất vô nhị Ii/ sử dụng b.đ.t nhằm giải phương trình và hệ phương trình lấy ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta bao gồm Vậy lốt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình gồm nghiệm tuyệt nhất x = -1 lấy một ví dụ 2 : Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT Bunhia
Cốpski ta gồm : dấu (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác vết (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 với y =
